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钗头凤·腊月廿八避席临海

Sun, 15 Feb 2026 00:00:00 GMT

钗头凤·腊月廿八避席临海

云笼天，碎金镶，咸风袭人何言畅。
催声紧，终不往。
故地重游，离席独放。
狂、狂、狂。

雾忽起，汽笛忙，小儿赴宴诳语妄。
离愁别，幕匿壤。
起行参见，绳结空想。
怅、怅、怅。

本词作于腊月廿八，公历二月十五，避席来到故地。 “小儿”，席间妄语者。时值“离愁时”“幕匿时”之交，迫不得已，只得起行。“绳结空想”，昨日之结，今日之手，空想而已。

卜算子·二月十四临海追忆

Sat, 14 Feb 2026 00:00:00 GMT

卜算子·二月十四临海追忆

光阴弹指过，往昔尤亲临。
花开收梢难言尽，劳燕散东西。

路遇卖花郎，廿钱亦可喜。
凭海葬花难涟漪，死生亦大矣。

本词作于二月十四情人节，为追忆《崩坏：星穹铁道》的“往昔的涟漪”——昔涟，故在词中埋下了“往昔”“涟漪”二词。“花开（于）收梢”化用昔涟的神谕「汝将收梢于开花时，一如终结诞下起始」。言“死生亦大矣”，化用《兰亭集序》（当然这句话出自《庄子·德充符》），她回到过去补全因果，而你走向未来，何尝不是散往东西的劳燕呢。

信息技术必修 2 默写清单

Wed, 28 Jan 2026 00:00:00 GMT

根据《新时代领航》的信息技术（浙教版，必修 2）知识点整理

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第一章信息系统概述

今天，信息技术主要包括计算机技术、计算机网络技术，也包括了电视、电话等相关通信技术。
信息技术是指获取、传输、存储、加工和表达信息的各种技术总成。
在前机械时期，随着笔的发明和中国祖先创造了造纸术，信息的技术大大进步。
世界上相继诞生了用模型铸制金属活字排版印刷、图书目录和页码编制技术，以及计算尺、加法器和莱布尼茨计算器等计算工具的是机械时期。
电子机械时期，信息开始以电子脉冲的方式加以传递。
包括电报、电话和收音机在内的最初的电信技术和电子机械计算机是电子机械时期的代表性发明。
电子化时期诞生了世界上首台运用电子管的通用计算机（ENIAC）、第一台程序存储计算机和第一台商用计算机（UNIVAC）。
信息技术沿着以计算机为核心到互联网为核心，再到以数据为核心。
信息系统是指由硬件软件设施、通信网络、数据和用户构成的人机交互系统。
信息系统有很多类型，比如业务处理系统、决策支持系统、知识管理系统、学习管理系统、数据库管理系统、办公信息系统等。
信息系统举例：网上预约挂号系统、办公自动化系统、网络学习平台、电子商务系统。
信息系统由五个关键要素组成，分别是硬件、软件、数据、通信网络和用户。
信息系统中的硬件是看得见、摸得着的设备，包含计算机硬件、移动终端硬件和通信网络设备等。
计算机硬件主要由运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备组成。
系统软件是指控制和协调计算机及外部设备，支持软件开发与运行的软件。
应用软件是为了某种特定用途而开发的软件，可以满足不同领域、不同问题的应用需求，如办公软件、工具软件管理软件等。
有组织的数据是信息系统的重要资源，数据一般存储在数据库里。
通信网络是指用于通信的信息发送、接收、转换和传输的设施，如无线、有线、光纤、卫星数据通信设施以及电话、电报、传真、电视等设备。
信息系统中的用户范围很广，如信息系统的使用者、计算机和非计算机设备的操作与维护人员、程序设计员、数据库管理员、系统分析员、信息系统的管理人员及人工收集、加工、传输信息的有关人员等。
一个完整的信息系统通常都具有数据收集和输入功能、数据存储功能、数据传输功能、数据加工处理功能、数据输出功能、数据查询功能。
信息系统按照系统的规模可以分为成简单系统、复杂系统。
信息系统按照技术发展的阶段可以分为数据处理系统、管理信息系统、决策信息系统等。
信息系统兼具数字化和网络化的特点，其呈现出诸多的优势：规范工作流程，提高工作效率；跨越时空限制，服务随时随处；基于数据分析，支持科学决策；便捷保存数据，利于共享追踪。
信息系统也不可避免地存在一些局限：对外部环境有依赖性；本身有安全隐患；技术门槛可能加剧数字鸿沟。
信息系统对外部环境的依赖是最大的局限性。
当与信息的生产、加工、处理、传输、服务相关的所有活动渗透进人类的各种领域，并逐步成为人类活动的主要形式时，则标志着信息社会的到来。
信息社会是以人为本的，信息社会是可持续发展的，信息社会是以信息和知识作为重要资源的。
必须以人为中心；只有以人为本，才能体现信息社会的包容性；以人为本的社会才能实现全面发展。
信息社会的特征可以从信息经济、网络社会、在线政府和数字生活四个维度来阐述。
网络社会主要表现在信息服务的可获得性和社会发展的全面性两个方面。
在现代技术的支撑下，在线政府具有科学决策、公开透明、高效治理、互动参与等方面的特征。
数字生活主要体现在三个方面：生活工具数字化、生活方式数字化和生活内容数字化。
从工业社会向信息社会的转型是一个长期的、动态的、循序渐进的过程，依据发展水平的高低可以将信息社会划分为不同的发展阶段。
以信息社会指数作为划分标准，将信息社会的发展过程划分为两大阶段，即信息社会的准备阶段(0发展阶段(0.6

第二章信息系统的支撑技术

计算机硬件是信息系统中最主要的组成部分。
计算机的发展经历了从电子管、晶体管、集成电路、大规模超大规模集成电路四个阶段，未来计算机逐渐向巨型化、微型化、智能化和网络化等方向发展。
计算机硬件主要由运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备五大部件组成。
在主机中最重要的部件是主板，它将计算机中的各个部件紧密连接在一起。
中央处理器(CPU)是计算机核心的部件，它由运算器和控制器组成。
存储器的功能是存放程序和数据，按用途可分为主存储器(内存)、辅助存储器(外存)和高速缓冲存储器(Cache)。
内存是计算机硬件的一个重要部件，通常分为只读存储器(ROM)和随机存取存储器(RAM)两种，两者之间最大的区别是在关闭电源后，RAM中的信息会丢失，而ROM中的信息仍然会保留。
常见的辅助存储器有硬盘和闪存盘。
常用的输入设备有键盘和鼠标。常用的输出设备有显示器和打印机。兼具输入输出功能的，主要有声卡、网卡、光盘驱动器等。
20世纪30年代，在研究可计算问题的过程中，原始递归函数、lambda演算和图灵机三种计算机制被相继提出，这三种计算机制在性能上是等效的。
图灵机可以通过简单的方法，一步一步机械地完成计算任务，成了现代计算机的计算模型。现代计算机大多采用“存储程序”体系结构，它是图灵机的工程实现。
计算机处理信息主要包括输入处理（运算与控制）、存储和输出四个步骤。
计算机的性能主要由CPU、存储器等部件的性能指标决定。
软件是相对硬件而言的，它是指在计算机上运行的程序及其数据和文档的总和。
计算机的硬件与软件密不可分，没有主机等硬件，软件是无法存在的，而一个没有软件的计算机是不能工作的，没有安装任何软件的计算机被称为裸机。
计算机软件根据所起的作用不同，可分为系统软件和应用软件等。
操作系统是最重要的系统软件。操作系统的主要功能是对计算机系统的全部软、硬件和数据资源进行统一控制、调度和管理，使得它们可以协调工作。
移动终端是指可以在移动中使用的计算机设备，广义地讲，包括POS机、手机、PDA和平板电脑等。移动终端和普通计算机一样，也是由硬件和软件组成。
移动终端的中央处理器是整个设备的控制中枢系统和逻辑控制中心。
移动终端常见的中央处理器有苹果、三星、高通(Qualcomm)、英特尔(Intel)、英伟达(Nvidia)、联发科(MTK)等。龙芯CPU是我国首款国产移动终端中央处理器。
移动终端的操作系统主要有安卓(Android)系统、苹果iOS系统、Windows系统等。
智能手机的移动支付功能正在使“无现金支付”成为当前消费方式的主流。
移动终端具备“移动性”和“智能性”，“智能性”主要基于传感器的植入。
影响智能手机的主要性能指标有CPU、存储和屏幕分辨率等。
智能手机的运行内存类似于计算机中的“内存条”，越大越好，目前大小在GB级别。
在由传感与控制技术支持的信息系统中，传感技术负责将采集到的外部世界的各种信息输入到信息系统；控制技术则实现信息系统对外部世界的控制。
传感器属于信息输入设备，一般由敏感元件、转换元件、其他辅助元件三部分组成。
同一种传感器采用不同的算法，还可以实现不同的功能。
射频识别，又称无线射频识别(RFID)，属于通信技术的范畴，可通过无线电识别特定目标并读写相关数据，而无需在特定目标与识别系统之间建立机械或光学接触。同时，从信息采集的角度来看，射频识别技术也属于传感器技术。
所谓射频(RF)，是指具有远距离传输能力的高频电磁波。
信息系统运用射频识别技术识别外部世界的事物至少需要两大基本元素：发射端——RFID标签(也称电子标签)，接收端——RFID读写器。
电子标签由芯片与天线(线圈)组成，每个标签具有唯一的电子编码。
电子标签按照能量供给方式的不同，分为有源标签和无源标签两种。
有源电子标签也称主动式标签，其工作的能量由电池提供，能够主动向读写器发送射频信号。通常具有更远的通信距离，但体积较大，价格也相对较高。
无源电子标签也称为被动式标签，是最为常见的电子标签，其本身没有电源，依靠从读写器的电磁波中获得能量。通常具有价格便宜的特点。
电子标签按照工作频率的不同，分为低频(LF)、高频(HF)、超高频(UHF)和微波频段(MW)四种。
根据应用不同，RFID读写器可以是手持式或固定式。
无源RFID产品开发较早，市场应用广泛，如公交卡、食堂餐卡、银行卡、宾馆门禁卡、第二代居民身份证等。
我国第二代身份证使用了射频识别技术，在身份证内嵌入了RFID逻辑加密芯片，具有高可靠性、高安全性、高性价比等特点。
NFC技术由RFID演变而来，是一种短距离（运行于10厘米距离内）高频（13.56MHz）的无线电技术。
信息系统要从传感器获取信息，可以采用多种通信方式，如无线网络、蓝牙、串口(COM接口)等。
网络将信息系统的各类软、硬件设施连接在一起，从而使信息能在系统中被发送、接收和传输。
数据通信是通信技术和计算机技术相结合而产生的一种通信方式，是网络系统最根本的功能。
资源共享是指网络中所有的软件、硬件、数据资源等能被网络中的所有用户共同使用。
分布式处理是指将不同地点或具有不同功能或拥有不同数据的多台计算机通过通信网络连接起来，并在控制系统的统一管理控制下，协调地完成大规模信息处理任务。
计算机网络、移动通信网络和广播电视网络现已成为覆盖面广、影响力大的三大网络。
按网络的覆盖范围进行分类，可以分为三类：局域网、城域网和广域网。
移动通信是移动设备之间或移动设备与固定设备之间的通信，其实质就是利用无线电波来传递信息。
广播电视网络也称为混合光纤同轴网络(HFC)，是利用有线电视铺设的同轴电缆和光缆为传输物理链路所构成的混合网络。
广播电视网络具有频带宽、容量大、功能多、成本低、抗干扰能力强、支持多种业务等优势。
三大网络的技术功能趋于一致，业务范围趋于相同。
网络是由计算机系统、数据通信系统以及网络软件和网络协议三个部分组成。
计算机网络根据其在网络中的用途可分为两类：服务器和终端。
数据通信系统主要由传输介质和网络互连设备等组成。
网络软件一般包括网络操作系统、通信软件以及管理和服务软件等。
网络协议是实现网络不同终端、不同网络之间相互识别和正确通信的一组标准及规则，它是计算机网络正常工作的基础。
网络应用软件的实现架构有两种，分别是客户端/服务器架构(C/S架构)和浏览器/服务器架构(B/S架构)。
C/S架构的客户端软件必须安装才能使用。
B/S架构无须专门的应用程序，用户工作界面通过浏览器来实现，因此服务器的负荷较重，但是极大地降低了成本和工作量。
使用 Flask Web框架编写网络应用的流程是：导入框架模块、创建应用实例、编写路由和视图函数、启动Web应用。
程序编写过程中出现的错误一般包括两类：一类是相对简单的语法错误，另一类是相对复杂的逻辑错误。

第三章信息系统安全

个人信息可以分为个人敏感信息和个人信息。
个人信息泄露的渠道有：个人信息注册时无意泄露、网上交流时被恶意窃取。
个人信息的保护措施有：国家立法、行业自律、提高个人信息安全意识。
合格的数字公民，是指“能够安全地合法地、符合道德规范地使用数字化信息和工具的人”。
数字公民素养教育所包含的九要素：数字准入、数字商务、数字通信、数字素养、数字礼仪、数字法律、数字权责、数字健康、数字安全。
在信息社会中，信息法规主要由国家机关制定并通过法律法规形式强制性地予以规范。
知识产权通常是指法律规定的人们对于自己创造或拥有的智力成果所享有的各种权利的总称，包括相应的人身权利和财产权利。知识产权还可以包括书籍、歌曲、电影、绘画、发明、公式和计算机程序等。
开发者设计开发的计算机软件，在开发完成之日起就受到法律的保护。
自媒体在享有通信自由权、信息传播自由权、信息选择权时，也理应承担道德上的责任和义务。
通过加密措施保护信息的保密性，采用数字签名保护信息的不可否认性。
密码通常是指按特定编码规则，对通信双方的数据信息进行从明文到密文变换的一种技术方法。
密码系统包括明文、密文、密钥和密码算法四个方面。
密钥是指在密码算法中引进的控制参数，分为加密密钥和解密密钥。
常见的三种加密算法为：替代加密法(凯撒密码)、换位密码法（最简单的是逆序法）和简单异或法。
异或运算是一种逻辑运算，要求把参与运算的数转换为二进制数再进行按位运算。若两个值相同，则异或结果为0；若两个值不相同，则异或结果为1。
密码体制是指明文、密文、密钥以及实现加密和解密算法的一套软件和硬件机制，根据密钥的不同将其分为对称密码体制和非对称密码体制。
身份认证是用户在进入系统或访问受限数据资源时，系统对用户身份的鉴别过程。
根据身份认证的发展情况和认证技术的不同可以将身份认证大致分为：用户名+口令的认证技术、依靠生物特征识别的认证技术、USB Key认证技术。
用户名+口令的认证技术最大的优点在于操作简单，不需要任何附加设施，且成本低、速度快，主要包括静态口令和动态口令。
生物特征识别的认证方式具有防伪性能好，随时随地可用等优点。目前比较成熟的认证技术有指纹识别技术、语音识别技术、虹膜认证技术、人脸识别技术等。
USB Key认证技术采用软硬件相结合、一次一密的认证模式。常用的包括网上银行的“U盾”、支付宝的“支付盾”等。
访问控制的三个要素分别是：主体、客体和控制策略。
访问控制的基本功能：保证合法用户访问受保护的系统资源，防止非法用户访问受保护的系统资源，或防止合法用户访问非授权的系统资源。
计算机病毒是指人为编制的具有破坏计算机功能或者毁坏数据，影响计算机系统的使用，并能自我复制的一组计算机指令或者程序代码。它具有传染性、寄生性、隐蔽性、潜伏性、破坏性、可触发性等特征。
手机病毒具有计算机病毒的特征，是一种手机程序。
为了尽可能地降低病毒感染的风险，应坚持以预防为主查杀为辅的原则。
漏洞是指一个系统存在的弱点或缺陷。
后门是漏洞中的一种，是有些程序编写人员为了方便进行某些测试和测试而预留的一些特权。
防止黑客利用漏洞进行攻击可以采用的措施有：使用防火墙防止外部未经授权的访问，经常使用安全监测与扫描工具，使用有效手段阻止入侵者，经常备份数据。
黑客一般是指热衷于计算机技术或解决难题、突破限制的高手。目前已逐渐成为贬义词。
防火墙一般是由硬件和软件组合而成的复杂系统，也可以只是软件系统。防火墙是在外部网络和内部网络之间、公共网络与专用网络之间构造的一道安全保护屏障。
防火墙主要由服务访问规则、验证工具、包过滤和应用网关组成。
防火墙按技术分类，主要分为地址转换防火墙、数据包过滤防火墙和代理防火墙等；按形态分类，主要分为硬件防火墙、软件防火墙等。

第四章信息系统的搭建实例

用户想利用该信息系统实现的功能称为功能需求。将其按重要程度分为三类：核心需求、拓展需求和创新需求。
可行性分析主要从技术、经济、社会意义等方面分析系统的可行性。
概要设计主要包括模块结构设计、系统物理配置和数据库管理系统选择三大部分。
系统分析阶段从需求分析、可行性分析等方面解决系统核心问题——“做什么”，即明确系统的功能。而系统概要设计主要解决系统核心问题——“怎么做”。详细设计明确系统“先干什么，后干什么”。
详细设计主要包括输入设计、输出设计、人机界面设计、数据库设计、代码设计、安全设计等。
信息系统的搭建主要包括硬件搭建和软件模块选择或编写两方面。
一个信息系统，其硬件组成主要包括服务器、网络设备、传感设备、智能终端等。
软件开发一般包括数据管理设计、服务器端程序、客户端程序几个部分。
数据管理设计主要负责与具体数据管理系统相衔接，包括数据采集、传输、存储、呈现等方面。
系统测试的目的是把测试结果与系统的需求相比较，发现所开发的系统与用户需求不符或矛盾的地方，及时加以修正。
信息系统测试包括软件测试、硬件测试和网络测试。
软件系统测试一般包括正确性证明、静态测试与动态测试三种方法。
动态测试即直接在客户端或服务器端上运行程序。
信息系统的文档，是系统建设过程的原始资料，是系统出现故障后维护人员的指南。

通用技术必修一前四章笔记

Wed, 01 Oct 2025 00:00:00 GMT

根据《新领航导学练》的通用技术（苏教版，必修技术与设计 1）前四章知识点整理

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走进技术世界

技术的发展

技术的概念

技术是指从人类需求出发，秉持一定的价值理念，运用各种物质及装置、工艺方法、知识技能与经验等，实现具有一定使用价值的创造性实践活动。

技术的历史

技术是人类文明的重要组成部分，是社会生产力水平的重要标志之一，是人类物质财富和精神财富的积累形式之一。

人类社会历史发展依据生产工具（生产力的标志）的变革，先后经历了石器时代、青铜时代、铁器时代、蒸汽时代、电气时代、信息时代。

技术的未来

对“技术的未来”的思考和憧憬，应当从人类的根本利益出发，从人类的共同利益出发，从人类的长远利益出发，更加理性地看待技术；以更为负责、更有远见、更具道德的方式使用技术；以亲近技术的情感、积极探究的姿态参与技术活动，并共同建构个人与社会、人类与自然、经济与文化相协调的技术世界。

技术的价值

技术与人的关系

技术的产生和发展，满足了人类的需求和愿望，改变了人类的生活，同时也改变了人类自身，对人起到保护、解放和发展的作用。

技术保护人：为人提供了抵抗不良环境，防止野兽、病菌等侵害的手段和工具；它还使人从复杂的、繁重的甚至危险的生活和工作环境中逐渐走出来。
技术解放人：人依靠技术解放或延伸了自己的手、脚、眼、耳、脑等身体器官的功能，拓展了活动空间；提高了劳动效率，增强了利用自然、保护自然、与自然和谐共生的能力（如各种生产设备的使用解放了人的体力，计算器的使用解放了人的脑力）。
技术发展人：人类在探究技术、使用技术、发展技术的过程中，不仅改变着客观世界，而且改变着主观世界。如人工智能已经成为人类认识和思考世界的一种工具，拓宽了人类的认知范围，更新了人类应对问题的方法，极大地激发了人类的创新精神和实践能力。

技术与社会的关系

技术促进了社会生产的发展，改变了社会生活的方式，丰富了社会文化的内容，是推动社会发展和文明进步的主要动力之一。

技术与自然的关系

人类在开发和利用自然时，应把握合理的尺度，注意对自然的保护，不能忽视一些技术或产品对环境可能造成的负面影响。
技术的发展应以可持续发展为目标，实现以更少的能源消耗获取更大的效益，应该与自然和谐共生。
技术的发展给自然环境带来了问题，但也给解决这些问题提供了可能。

技术与人的关系

技术保护人：技术保护人强调技术对人本身的保护，保护人生存下来、免受伤害等。对人的财产、财物的保护与技术保护人没有直接关系。对人心理的保护也体现技术保护人。
技术解放人：技术解放人强调技术解放（代替）人的体力或者脑力劳动、拓展活动空间等。
技术发展人：技术发展人主要指改变人的认知范围、创新精神及实践能力，强调改变人的主观世界（思想）。

技术的性质

技术的目的性（技术的功能、作用）：总是从一定的具体目的出发，针对具体的问题，形成解决的办法，满足人们某方面的具体需求。
技术的实践性：根据人的需要把自然物加工成具有某种使用价值的人造物的活动，主要表现在两个方面：一是技术产生于实践之中，二是技术只有在人的实践活动之中才能变为现实。
技术的综合性：技术具有跨学科的性质，综合性是技术的内在特性。一般地，每一项技术（产品）都需要综合运用多个学科、多方面的知识。
技术的创新性：创新是技术发展的核心。技术创新常常表现为技术革新和技术发明。技术革新一般是在原有技术基础上的变革或改进，技术发明则是以原创的技术为核心。
技术的复杂性：一方面，技术的内容和体系越来越复杂；另一方面，技术使用和应用的环境也越来越复杂。由于技术的复杂性，以及一定时期人类思维的局限性和有限性，技术客观上具有两面性，即技术可以给人类带来福音，但如果使用不当也可能给人类带来一定的危害。
技术的专利性：在技术实现其价值的过程中，技术发明人对此享有一定的权利，这些权利受到法律的保护。专利权是指发明人、设计人在一定时间内对其发明创造成果享有独占、使用、处置的权利。专利权是不能自动取得的。专利的申请遵循先申请原则，即专利权只能给最先申请专利的人。

技术与科学的区别和联系

区别和联系	科学	技术
区别	科学是对各种事实和现象进行观察、分类、归纳、演绎、分析、推理、计算和实验，从而发现规律，并予以验证和公式化的知识体系	技术是人类为满足自身的需求和愿望对大自然进行合理开发与利用的手段和工具
	科学侧重认识自然，力求有所发现	技术侧重开发利用自然，力求有所发明
	科学回答“是什么”“为什么”的问题	技术更多回答“怎么办”的问题
	科学通过实验验证假设，形成结论	技术通过试验验证方案的可行性和合理性，并实现优化
联系	科学促进技术发展，技术推动科学进步

技术的综合性

技术具有跨学科的性质，需要综合运用多学科、多方面的知识。

体现技术的综合性：多学科、多方面知识、多种原理、多种技术、多个研究领域。
不体现技术的综合性：多种功能、多种优点、多种工作模式、多种适用场所、多种原材料。

技术的复杂性

技术的内容和体系越来越复杂；技术使用和应用的环境越来越复杂。技术的复杂性举例：

内容和体系复杂：技术创新、增加构建、功能升级，往往会增加技术的复杂性。
使用和应用的环境复杂：未来作业机器人的任务多样化、面临的自然环境和社会环境更加复杂等。

技术的两面性

技术的复杂性及一定时期人类思维的局限性和有限性，技术客观上具有两面性。技术使用不当可能会对人、社会、自然环境产生负面作用，引发伦理道德问题等。

体现技术的两面性举例：数字网络技术泄露用户隐私，随意丢弃的废旧电池中所含的重金属会污染环境，基因编辑技术挑战传统伦理道德等。
不体现技术的两面性举例：价格贵、成本高、研发难度大、操作复杂、功能缺陷等。

技术世界中的设计

技术与设计的关系

设计的概念

设计是基于一定设想的、有目的的规划及创造活动。

技术与设计的关系

设计是技术发展的重要驱动力：设计是技术成果与人的需求之间联系的纽带，是技术成果转化为技术产品的桥梁；设计促进技术的革新。
技术发展对设计产生重要影响：设计依赖技术得以实现，技术发展为设计提供了更为广阔的发展空间；技术进步促进人们设计思维和手段的发展。

设计的内涵

技术产品的设计通常以技术设计为核心，艺术设计融入其中。

技术设计是对技术及其产品与应用的设计，围绕技术的目的而展开，侧重功能、结构、材料、工艺等（如笔筒的可折叠设计，木椅四角、靠背、扶手的结构设计等）。
艺术设计是将艺术的形式美融入日常生活的设计，突出审美、欣赏、文化等（如笔筒的卡通造型设计，木椅靠背的图案设计等）。

技术与设计的关系

关于技术与设计的关系，不要死记硬背，要理解两者之间的逻辑关系，设计对应的是产品等，技术对对应的是手段、程序、工艺和方法等。
若选项较长容易混淆，可通过缩句对选项进行提炼。如“全柔性显示屏技术”精简为“技术”，“折叠式智能手机的设计”精简为“设计”。
判断是注意分析题意，分析题干是侧重“技术对设计的作用”还是“设计对技术的作用”。

设计的一般原则

实用原则（设计的目的、产品的功能）：设计的实用原则是指设计的产品具有为实现其目的的基本功能。
1. 物理功能：产品的性能、构造、效率、精度和可靠度等。
2. 生理功能：产品使用的安全性、方便性、宜人性等。
3. 心理功能：产品的造型、色彩、肌理、装饰等。
4. 社会功能：产品象征、个人价值、兴趣爱好、社会地位等。
5. 产品的实用原则是从设计的目的出发的，随时代的改变而改变，随人群的改变而改变，具有鲜明的个性特征。
创新原则：创新是设计的核心。创新就是通过引入新概念、新思想、新方法、新技术等（如原理、结构、技术、材料、工艺等方面的改进和突破），或对已有产品的革新来创造具有一定社会价值的事物或形式（如新产品、产品新特性、新生产方法）。
经济原则：以最低的费用取得最大的效益。所谓最低的费用，是指产品在得到最优良的设计、实现最佳功能的同时，所涉及的各方面的成本（制造成本、材料成本、维护成本、使用成本、运输成本、仓储成本、回收成本等）总量最小（如采用成本低的工艺、材料，批量生产、自动化生产，降低材料消耗等）。
道德原则：产品设计必须考虑它与人、社会、环境的关系，必须遵循道德原则。产品的设计应始终坚持为人服务的宗旨，不能出于某种不道德的目的（如设计制造低级趣味的产品、抄袭他人设计成果等）。
美观原则：产品外观的美是通过对产品造型、大小比例、使用材料、色彩搭配、装饰图案等的设计组合来表达的（如形态美、技术美、材质美、色彩美等）。
技术规范标准：技术规范是有关使用设备工序，执行工艺过程以及产品、劳动、服务质量要求等方面的准则和标准。技术规范有强制性标准，也有推荐性标准（如标准化 USB 接口、电子通信协议等）。
可持续发展原则：产品的设计既满足当代发展的需求，又考虑未来发展的需要，不以牺牲后人的利益和长远的利益为代价来满足当代人的需求（如选用可再生资源、可重复使用的材料，考虑使用和回收问题，绿色制造、节约能源等）。

设计原则之间的关系

设计是一项综合活动。设计过程中，各原则并不是独立的，它们之间有着相互联系、相互制约、相互影响的关系，并且具有一定的开放性。

辨析设计的一般原则

实用原则（最基本）：设计的目的、产品的功能，如使用方便、具有某种功能、设计便于打理等。
创新原则：新产品、产品新特性以及原理、结构、技术、材料、工艺等方面的创新。
经济原则：强调效益、成本等。
道德原则：强调以人为本。有损他人、社会、环境的设计等没有遵循设计的道德原则。
美观原则：强调外观美，产品设计中的美观原则是多元的。
技术规范原则：遵守规范、规定，如采用同一标砖、遵守相同的技术协议等。
可持续发展原则：强调环保、长期发展。
各原则之间相互联系、互相制约、相互影响，如特别注重创新、实用、美观等原则，可能会导致设计作品成本增加，影响经济原则。

设计的一般过程

设计的一般过程可分为以下几个步骤：

发现与明确问题：设计必须从调查需求、分析信息、发现与明确需要解决和值得解决的问题开始，并在此基础上提出设计项目。
制订设计方案：
1. 收集信息：通过用户调查、专家咨询、查阅图书资料、收听广播、收看电视、浏览互联网等渠道收集有关信息。
2. 设计分析：面对收集到的各种信息，要找出设计需要解决的主要问题，并分析其可能的解决办法，提出具体的设计要求。
3. 方案构思：根据设计要求，提出解决问题的多个设想（方案的多样化和可行性）。
4. 方案呈现：对设计想法进行综合并用草图的形式进行呈现。
5. 方案筛选：当多个设计方案产生以后，要依据一定的原则，对这些方案进行筛选。
6. 绘制图样：既可以手工绘制，也可以采用计算机辅助绘制。
制作模型或原型：对于小型、简单的产品可以直接制作产品原型，而对于大型、复杂的产品应先制作缩小、简化的模型。
优化设计方案：
1. 测试：测试结构和技术性能等方面能否达到预定的设计要求。
2. 评价：在测试的基础上，还要对设计方案和产品进行较为全面的评价。
3. 优化：分析测试和评价的具体记录，结合对公众意见的调查，明确改进的方向。
编写产品说明书：在产品使用过程中，正确的使用和维护既可以使产品更好地满足人们的需求，又能延长其使用寿命。

设计是一个动态发展的过程

设计实际上是一个动态发展的过程。在一项具体设计中，有些阶段或步骤可能会发生变化，有些步骤之间则可能出现一定的循环，因此，不能将设计的过程简单化、模式化，而应根据设计的需要进行灵活安排。

设计的一般过程

设计的一般过程主要考察设计过程的先后顺序，注意理解流程中每个过程的作用和注意点。熟记大过程（设计的一般过程）和小过程（制订设计方案的过程和优化设计方案的过程）。

技术试验及其方法

技术试验及其意义

概念：技术活动中为了某种目的所进行的尝试、检验等探索性实践活动。

意义：技术试验是对技术成功与否的验证，是发现问题、探究规律、优化技术的关键，对技术应用的实现起到了有力的保障作用；通过技术试验，可以使设计得以改进和完善，将设计的风险和失误概率降到最低。

技术试验的常见类型

根据应用领域来分，可分为农业试验、工业试验、国防试验等。
根据目的来分，可分为性能试验、优化试验、预测试验等。

技术试验的常用方法

强化试验法：通过扩大和强化试验对象的作用，以提高试验效率的方法（如安全帽的超载试验）。
优选试验法：运用数理统计的方法，选定若干次具有典型意义的试验，按一定的逻辑推出全部试验所达到的最佳效果（如不同品种水稻的对比试验）。
模拟试验法：通过再现的形式来模拟现实发生情况的方法（如汽车的碰撞试验）。模拟试验法还可以通过缩小（放大）比例来模拟所设计的现场效果。
虚拟试验法：利用计算机技术来模拟现实中的技术设计原型并进行试验的方法（如用计算机模拟“祝融号”火星车在火星表面工作的场景）。
移植试验法：在具有差异的事物之间，将某些共同的或相关的因素从一物移植到另一物上进行试验的方法（如作物的嫁接试验、器官移植试验）。

技术试验报告的写作

技术试验的一般实施步骤：制订试验方案，抽取样本，进行试验，记录数据，分析数据，得出结论等。
技术试验报告包括试验目的、试验准备、试验过程、试验记录、试验结论等。
撰写试验报告的要求：
1. 试验记录完整和真实。
2. 当试验现象反常时，应做出明显标记，并详细记录。
3. 文字力求简洁扼要。

巧记技术试验方法

强化试验法——测极限：快速试验，提高试验效率，短时间内得到试验结果。
模拟试验法——再现模拟：使用模型试验或模拟环境进行试验。
虚拟试验法——利用计算机：利用计算机技术来模拟现实（研制周期短，费用低，风险小）。
优选试验法——数理统计、对比优选：分析、计算、运用数理统计、进行对比试验等。
移植试验法——共性移植：从 A 处移植到 B 处。

注意

题干中出现计算机不一定就是虚拟试验法，有些题目中计算机只起到记录和分析数据的作用，类似于纸和笔的作用。

关于技术试验设计合理性的总结归纳

合理的技术试验		不合理的技术试验
试验对象是所要测试的产品试验内容与设计要求相对应试验方法符合使用场景，遵循事物本身内在规律		移花接木——选项中的试验对象不是所设计的产品混淆视听——如用检测强度的试验方法来进行结构的稳定性试验不搭边——与设计要求毫不相关的试验，如光控操作的产品，用声音对其进行试验超常规——超常规的破坏性试验，如用铁锤砸玩具车检测强度。做题时可根据题目要求来排除，如果题目要求设计的工件能抗多大力的击打，则可以用铁锤适量砸不安全——对人身安全有隐患的试验，如带电试验、儿童在儿童车上的试验，都是不合理的

发现与明确问题

发现问题

问题的来源

人类生存必然会遇到的问题。
由别人给出问题，设计者必须针对问题寻求解决方案。
基于一定的目的，由设计者自己主动地发现问题并试图解决。

发现问题的途径与方法

观察日常生活（观察）：对日常生活中所遇到的人、事、景、物的偶然一瞥，即无意观察，都可能发现一个新问题；对于日常生活中的问题，我们还可以通过有目的、有计划的观察来发现。
收集和分析信息（收集）：
1. 对已有文献信息进行收集、分析的方法称为文献法。
2. 用问卷的方式进行实际调查，获取信息、发现问题的方法称为问卷调查法。
3. 以询问的方式收集和获取信息、发现问题的方法称为询问法。
技术研究与技术试验（实践）：通过技术研究、技术试验，我们有可能从对已有技术问题的研究中发现与之相联系的问题，从已有的研究结论中发现新的问题，也有可能在技术研究、技术试验过程中获得灵感、体悟，进而发现新的问题。

明确问题

明确问题的要素

明确了问题的内容之后，还需要确定问题是否有价值。

明确问题的价值

判断一个问题是否有价值，必须从多个方面进行分析：

所提出的问题是否遵循了基本的科学原理（科学性）。
迄今为止，该问题是否已得到充分解决（新颖性）。
在你调查的范围里，该问题是否具有普遍意义。在更广的范围内，这个问题是否有意义（普遍性）。
在多个问题同时发生时，该问题是不是主要问题（主要性）。
现有的技术条件能否解决这个问题。技术发展以后呢（可行性）？
解决该问题所需的投入是多少，投入与产出之比是否理想（经济性）。

解决问题受到的限制

设计对象的特点和问题解决的标准：
1. 不同的设计对象往往具有不同的特点，其产品的功能、大小、安全、外观、耐用性等方面的设计标准也有所不同。
2. 设计对象还可能会受到诸如成本、环境等的限制。
设计者的技术能力与条件：
1. 主观条件：主要是其是否具有解决问题所需要的知识和技能。
2. 客观条件：问题解决或设计的过程往往要消耗一定的人力、物力、财力以及时间，需要一定的材料、资料、仪器、设备以及空间作为支撑，而这些资源都是有限的。

明确设计要求及编写设计计划

当我们对解决问题所受到的限制做了全面的梳理和分析之后，就可以将该问题明确地视为一个设计对象，并依据已有的调查、研究和分析，提出具体的、具有一定可行性的设计要求了。
为了保证设计的顺利实现，我们需要制订设计计划。为了统筹安排设计进度，合理利用设计资源，并根据时间要求以及设计各个阶段的工作量和设计的难易程度，科学、合理地分配时间，在完成设计计划的基础上，还需要制订一份时间进度计划表。设计各阶段工作的展开，有的可以同时进行，有的需要依次推进。根据需要，时间进度计划表也可以用设计计划书的形式来表达。

明确问题受到的限制

明确问题受到的限制=设计师要考虑的问题（因素）。
设计某装置或产品时无关的因素、条件、环境均不属于受到的限制。
设计某装置或产品时，所有相关的设计要求（设计对象的特点、设计标准及成本）、设计者的知识技能水平、客观的设计条件（人力、物力、财力、时间、材料、资料、仪器、设备、空间等）均属于受到的限制。

合理的设计计划书

一般来说，“资料收集与分析”“编写产品说明书”用时较短，中间的“制订设计方案”“制作模型或原型”“优化设计方案”时间分配较多。

方案的构思及方法

设计中的人机关系

人机关系的概念

生活中，我们每个人无时无刻不与身边的物品发生联系。当我们使用这些物品时，物品就与人产生了一种相互关系。这种相互关系称为人机关系。
人机关系中所指的“机”包括工具、仪器、仪表、设备、设施以及劳动保护用具等。

人机关系要实现的目标

高效：在设计中，应把人和机作为一个整体来考虑，合理或最优地分配人和机的功能，以促进二者的协调，提高人的工作效率。
安全：人机关系中的安全，是指人们在操作和使用产品的过程中，产品对人的身体不构成生理上的伤害。
健康：人机关系所追求的健康，是指人在长期操作或使用产品过程中，产品不会对人的健康造成不良影响。
舒适：人机关系中的舒适，是指人在使用产品的过程中，人体能处于自然的状态，操作或使用的姿势能够在人们自然、正常的肢体活动范围之内，从而使人不会过早地产生疲劳。心理上的舒适感受也是人机关系应当考虑的目标。

实现合理人机关系的方式

普通人群与特殊人群:大多数产品是为普通人群设计的，设计参照的标准是依据普通人群的数据确定的。但是，在产品设计应用过程中，还应当考虑特殊人群的使用状况，如盲人、肢体残疾人、老人和儿童等。
静态的人与动态的人：人们使用产品时处于静态和动态两种状态交替之中，因此，设计的产品不但要符合人体的静态尺寸，还要符合人体的动态尺寸。静态尺寸是指人的构造尺寸。动态尺寸是指人的功能尺寸，包括人的动作范围、体形变化等测量数据。
人的生理需求与心理需求：设计中的人机关系，不仅要满足人的生理需求（如高矮、胖瘦、身体状况等），而且要满足人的心理需求。产品的色彩、材质等都会对人的心理产生影响，视觉、听觉、触觉、味觉等都影响人的心理感受。
信息的交互：人与产品的互动过程就是人与产品之间信息传递的过程，即人机之间运用信息语言交流的过程。改善信息传递的途径能够获得更好的人机关系。

人机关系的判断

人使用物品时，物品与人产生了一种相互关系。构成人机关系的三个要素为：人、机、产生关系。注意区分人机关系与“机和机”之间的关系。

辨析人机关系的安全目标与健康目标

辨析	安全目标	健康目标
含义对比	安全目标是指人们在操作和使用产品的过程中，产品对人的身体不构成生理上的伤害	健康目标是指人在长期操作或使用产品过程中，产品不会对人的健康造成不良影响
案例对比	滴眼药水的支架脚的端部圆滑，体现了安全目标儿童点读笔笔头形状非常圆滑，符合儿童安全需求带有喷雾功能的淋浴头水温控制在 50℃ 以下，实现了人机关系的安全目标	滴眼药水的支架可以防止滴管接触眼球引发感染，体现了健康目标儿童点读笔采用食品级机身材质，符合儿童健康需求淋浴喷头的水经过了杀菌操作，体现了人机关系的健康目标

人的静态尺寸和与动态尺寸

静态尺寸：人的构造尺寸，如身高、臂长、腿长、眼高、肩宽、腿厚、手以及手指大小等。
动态尺寸：人的功能尺寸，包括人的动作范围、体形变化等测量数据，如手脚摆动范围、手腕转动角度、手指的活动范围。

方案的构思过程

设计分析的三要素

物：产品本身是一个整体，包括功能、造型、材料等。
人：产品是为人服务的，人的需求在很大程度上决定着产品的设计。
环境：产品是在一定的环境中使用的，必然受到环境的制约，并对环境产生影响。

因此，设计任何产品都应综合考虑产品本身、使用者和使用环境，即物、人、环境三方面因素。

构思设计方案

梳理设计需求：
1. 根据设计要求，找出设计需要解决的主要问题，并分析其可能的解决办法。
2. 应该提出尽可能多的设想，以便权衡利弊，作出最佳选择。
呈现设计方案：不同的产品设计一般有不同的呈现方式。设计方案时，我们可以运用设计草图进行构思。

比较、权衡设计方案

方案的比较：要从设计的目的和原则出发，针对一些相互制约的问题进行分析，选出较为满意的方案或集中各方案的优点进行改进。
方案的权衡：通过比较，明确各个方案对设计指标的符合程度。根据设计要求与设计原则对各个方案进行权衡，制订出最佳方案。
方案的细化：应该从产品到制造、使用、维护等各个环节进行综合考虑，以完善方案的构思。
方案的呈现：随着技术的不断发展，设计方案的呈现方式也越来越多样。

标准件

标准件是指按照国家标准或行业标准的技术要求批量生产的具有通用性的零部件，如螺纹连接件、键、销、滚动轴承等。其主要类别包括紧固件、连接件、传动件、密封件、液压元件、气动元件、轴承、弹簧等机械零件。
使用标准件既可以简化制作过程，又能实现通用通换，降低生产、维护成本。

设计分析的三要素

三要素	关键点对比	案例一：折叠床	案例二：保温杯
物	产品本身的特点（造型、功能、材料等） $\\$ 注：无毒材料时考虑人的因素	采用强度好的材料	密封性好
人	产品为人服务（健康、方便、操作简单等）	折叠后搬家方便	内胆采用食品级无毒不锈钢材料
环境	环境制约产品，产品适应、影响环境（节省空间、大小适应、保护环境等）	折叠后收纳方便	废弃后，可快速降解

注意

设计分析中存在受物、人、环境三者共同影响的情况，此时要区别主要因素和次要因素，关键在于厘清产品设计的出发点是什么，为了什么目的。

方案筛选的三大题型

组装类：常见于轴测图或实物图呈现的榫卯结构。观察题目已有结构的特征，与选项进行比较，聚焦选项之间的异同，找出对应特征点，用排除法得出正确项。
功能类：常见于给出应用情景下具体功能的结构。根据一个较为合理的设计草案或应用情景，优化已有结构的细节，例如产品和零部件的尺寸、产品内外部的结构关系、材料以及标准件的选配、使用过程中的人机交互、使用后的维护等。抓住功能和结构之间的关系进行解题。
※稳固类：常见于轴测图或实物图或实物图呈现的具体结构（整体）。保持结构稳定要求整体的站立稳定和造型稳定。从稳定性和结构强度的概念出发，根据题目要求判断其影响因素，对选项进行对比分析并得出正确项。

方法归纳：方案筛选找异同，差异画圈对功能。

常用的构思方法

形态分析法

形态分析，是指从整体的思想出发来看待事物，把事物看成是几个功能部分的集合，然后把整体拆成几个功能部分，分别找出能够实现每一部分功能的所有方法，最后再将这些方法进行重新组合，根据分析评价结果最终形成多种设计方案。
形态分析法是一种产生多方案、行之有效的构思方法。

联想法

联想法就是由甲事物想到乙事物的思维过程。具体来说，是借助想象，把形似的、相连的、相对的、相关的或某一点上有相通之处的事物加以联结。

设问法

设问法是通过多角度提出问题，从问题中寻找思路，进而做出选择并深入开展创造性设想的一种构思方法。它的主要类型有检核表法、5W2H 法、和田 12 动词法等。
设问法借助各种思维技巧，抓住事物具有普遍意义的方面进行提问。

仿生法

仿生法是模拟自然生物形态进行设计的方法，主要类型包括功能仿生设计、形态仿生设计、结构仿生设计和肌理与质感仿生设计。

辨析联想法与仿生法

联想法：把形似的、相连的、相对的、相关的、相通的两个事物加以连结（两个事物可以都是人造物）。
仿生法：模拟自然生物形态（两个事物一个为自然物，一个为人造物）。

不定积分笔记

Mon, 28 Jul 2025 00:00:00 GMT

\Huge{+C}

，

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，还是

\Huge{+C}

不定积分难学？1h全面入门到精通！|学渣救星

积分表

\begin{align} \int k\,\mathrm{d}x=kx+C\\ \int x^a\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne-1)\\ \int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln |x|+C\\ \int \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x+C\\ \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin x+C\\ \int a^x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C(a>0, a\ne 1)\\ \int \cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C\\ \int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ \int \sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x+C\\ \int \csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x+C\\ \int \sec x\tan x\,\mathrm{d}x=\sec x+C\\ \int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x=-\csc x+C\\ \int \sec x\,\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C\\ \int \csc x\,\mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C\\ \int \tan x\,\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C\\ \int \cot x\,\mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C\\ \int \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C(a>0)\\ \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C(a>0)\\ \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C(a>0)\\ \int \dfrac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2a}\ln|\dfrac{a+x}{a-x}|+C(a>0) \end{align}

例题

\displaystyle\int \dfrac{1}{x^4(x^2+1)}\,\mathrm{d}x

微分中值定理笔记

Sun, 27 Jul 2025 00:00:00 GMT

「微分中值定理」保姆级教程！8道题搞定！干货密集，不看后悔 | 高数上

费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意 $x\in U(x_0)$ ，都有 $f(x)\le f(x_0)$ （或 $f(x)\ge f(x_0)$ ），那么 $f'(x_0)=0$ .

即若 $f(x)$ 在可导点 $x_0$ 处取极值，则 $f'(x_0)=0$ .

证明

求极限笔记

Sat, 26 Jul 2025 00:00:00 GMT

直击痛点 | 求极限题型与方法一课通

可以带入吗

三个可以直接代入的依据

极限四则运算法则

设 \lim_{x\to\cdot} f(x)=A, \lim_{x\to\cdot} g(x)=B 均存在，则有：\\ (1) \lim_{x\to\cdot}[kf(x)\pm lg(x)]=k\lim_{x\to\cdot}f(x)\pm l\lim_{x\to\cdot}g(x)=kA\pm lB\\ (2) \lim_{x\to\cdot}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to\cdot}f(x)\cdot\lim_{x\to\cdot}g(x)=A\cdot B\\ (3) \lim_{x\to\cdot} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to\cdot}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to\cdot}g(x)}=\dfrac{A}{B}(B\ne 0)

即：

极限存在 $\Rightarrow$ 极限有限次倍增加减乘除（分母极限不为 0）均存在

连续点处极限等于函数值

$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$

初等函数在定义区间处处连续

七种未定式

\begin{align} \dfrac{0}{0}&& \begin{cases} \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1\\\\ \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x\sin \dfrac{1}{x}}{x} 不存在\\\\ \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{x^2}=\infty \end{cases}\\ \dfrac{\infty}{\infty}&& \displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{x^2+x}{x^3+2x}\\ 0\cdot\infty&& \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\ln(1+\dfrac{1}{x})\\ \infty-\infty&& \displaystyle\lim_{x\to 0} (\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sin x})\\ 1^\infty&& \displaystyle\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}\\ \infty^0&& \displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{\frac{1}{x}}\\ 0^0&& \displaystyle\lim_{x\to 0} \sin x^{\tan x} \end{align}

等价无穷小代换

常用等价无穷小

\sin x\sim x, \tan x\sim x, \arcsin x\sim x, \arctan x \sim x, e^x-1\sim x, \ln(1+x)\sim x\\ a^x-1\sim x\ln a, (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\\ 1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2, x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2\\ x-\sin x\sim\dfrac{1}{6}x^3, x-\arcsin x\sim-\dfrac{1}{6}x^3, x-\tan x\sim-\dfrac{1}{3}x^3, x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3

等价无穷小代换的用法

使用时通常将 $x$ 广义化为其余 $0$ 的函数（无穷小量）
只有整个函数的乘除因子才能用等价无穷小代换，加减项一般不能替换

例题

\displaystyle\lim_{x\to 0} \left(\dfrac{1}{x\sin x}-\dfrac{1}{x\tan x}\right)

原神日常自动化方案

Sat, 28 Jun 2025 00:00:00 GMT

依据 BetterGI、Python 以及 Windows 计划任务实现的原神日常自动化方案

需要有一台开机的 Windows 系统电脑

基本配置

BetterGI 一条龙设置

先去 BetterGI 下载页下载最新版本（截止本文落笔，最新版为 v0.46.2）

下载完打开后，在启动页将“同时启动原神”选项勾上，如有需要可以往“启动参数”中填写 -screen-width 1920 -screen-height 1080，如图：

然后可以根据自身情况配置左侧“一条龙”任务列表，记得将“完成后操作-任务完成后执行的操作”设置为“关闭游戏和软件”，以便下一次启动（因为笔者没找到在 BetterGI 运行时怎么启动一条龙，干脆每次从命令行启动 BetterGI 顺便开启一条龙），如下图：

当然可以用左侧“全自动-调度器”，但是笔者找不到怎么在最后关闭 BetterGI 窗口，需要手动关闭来确保下一次正常启动

有需要可以去左侧“独立任务-自动战斗”里设置战斗策略

至此，你已经完成了基本配置，此时去“一条龙”中点击“任务列表”右侧的启动按钮就可以自动清日常了

可选配置

远程本地多用户桌面

由于 BetterGI 的工作原理是 ORC，需要原神窗口居于最顶层，会和你抢键鼠，而且电脑锁屏时也不能正常工作，要是你不希望这样，可以尝试远程本地多用户桌面

请参考 b 站凜若無音的图文“远程本地多用户桌面1.3(一种不让电脑跟你抢键鼠的思路)”

显卡欺骗器

要是折腾不起上面远程本地多用户桌面方案的话，可以去拼夕夕上买一个显卡欺骗器，用来假装自己有一个显示屏，然后 Win+P 选择“仅第二屏幕”就可以做到电脑屏幕上不显示任何图像

但是一般这类设置会先有 15s 的测试时间，如果没有点击确定的话会切换回原状态，此时可以找一个远程控制软件来在第二屏幕上点击确定

确定之后，拔出显卡欺骗器就可以恢复原屏幕的显示，而且重插回去也不用重新设置

Windows 任务计划

通常情况下，我们都希望能够每天自动进行一条龙，那不妨通过 Windows 任务计划程序来订定时任务

按 Win 键输入“任务计划程序”，回车打开

笔者建议新建一个文件夹（右侧按钮），以后点开文件夹比一条一条找方便得多，如图：

下面是一个计划任务例子：

ys.xml

<Task version="1.4" xmlns="http://schemas.microsoft.com/windows/2004/02/mit/task">
  <RegistrationInfo>
    
    <Date>2025-06-25T20:18:17.4805159Date>
    <Author>  Author>
    <URI>\MihoyoOneDragon\ysURI>
  RegistrationInfo>
  <Triggers>
    <CalendarTrigger>
      <StartBoundary>2025-06-25T13:00:00StartBoundary>
      <Enabled>trueEnabled>
      <ScheduleByDay>
        <DaysInterval>1DaysInterval>
      ScheduleByDay>
    CalendarTrigger>
  Triggers>
  <Principals>
    <Principal id="Author">
      <UserId>  UserId>
      <LogonType>InteractiveTokenLogonType>
      <RunLevel>HighestAvailableRunLevel>
    Principal>
  Principals>
  <Settings>
    <MultipleInstancesPolicy>IgnoreNewMultipleInstancesPolicy>
    <DisallowStartIfOnBatteries>falseDisallowStartIfOnBatteries>
    <StopIfGoingOnBatteries>trueStopIfGoingOnBatteries>
    <AllowHardTerminate>trueAllowHardTerminate>
    <StartWhenAvailable>falseStartWhenAvailable>
    <RunOnlyIfNetworkAvailable>falseRunOnlyIfNetworkAvailable>
    <IdleSettings>
      <StopOnIdleEnd>trueStopOnIdleEnd>
      <RestartOnIdle>falseRestartOnIdle>
    IdleSettings>
    <AllowStartOnDemand>trueAllowStartOnDemand>
    <Enabled>trueEnabled>
    <Hidden>falseHidden>
    <RunOnlyIfIdle>falseRunOnlyIfIdle>
    <DisallowStartOnRemoteAppSession>falseDisallowStartOnRemoteAppSession>
    <UseUnifiedSchedulingEngine>trueUseUnifiedSchedulingEngine>
    <WakeToRun>trueWakeToRun>
    <ExecutionTimeLimit>PT72HExecutionTimeLimit>
    <Priority>7Priority>
    <RestartOnFailure>
      <Interval>PT1MInterval>
      <Count>3Count>
    RestartOnFailure>
  Settings>
  <Actions Context="Author">
    <Exec>
      
      <Command>D:\BetterGI\BetterGI.exeCommand>
      <Arguments>--startOneDragonArguments>
    Exec>
  Actions>
Task>

复制下来保存到文件中并按需修改，再在 Windows 计划任务程序右侧点击“导入任务...”

如果配置了远程本地多用户桌面，可以将运行用户改为远程用户，这样可以在远程用户处执行了，如图：

如果需要手动启动任务，请点击右侧的“运行”按钮

通知

BetterGI 支持多种通知方式，可前往官网查看

失败重试

我们可以创建一个本地 Webhook 端点，当接收到“每日奖励未领取”时，就让 Windows 计划任务重新执行

以下为一份支持网页查看并启动一条龙、日志文件保存的 Python 代码，大部分出自 DeepSeek 之手，有点小 Bug：

ysOneDragonRestart.py

import os
import sys
import subprocess
import json
import logging
import time
import threading
import ctypes
from collections import deque
from http.server import HTTPServer, SimpleHTTPRequestHandler

# 检查并请求管理员权限
def require_admin():
    try:
        # 检查当前是否已经是管理员权限
        if ctypes.windll.shell32.IsUserAnAdmin():
            return True
        
        # 如果不是管理员，则请求管理员权限
        script = os.path.abspath(sys.argv[0])
        params = ' '.join([script] + sys.argv[1:])
        ctypes.windll.shell32.ShellExecuteW(None, "runas", sys.executable, params, None, 1)
        return False
    except Exception as e:
        print(f"请求管理员权限失败: {e}")
        return False

# 配置区域
PORT = 41210
FAILURE_KEYWORDS = ["每日奖励未领取"]  # 修改为您的关键词
TASK_NAME = r"\MihoyoOneDragon\ys"  # 计划任务名称
SAVE_TO_LOG = True  # 控制是否保存日志到文件
LOG_LEVEL = logging.DEBUG  # 控制日志详细程度 (DEBUG, INFO, WARNING, ERROR)
MAX_LOG_LINES = 300  # 内存中保留的最大日志行数

# 创建日志缓冲区
log_buffer = deque(maxlen=MAX_LOG_LINES)

# 自定义日志处理器 - 捕获日志到缓冲区
class BufferLogHandler(logging.Handler):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.setFormatter(logging.Formatter(
            r'[%(asctime)s][%(levelname)s] %(message)s',  # 使用原始字符串解决转义问题
            datefmt='%Y-%m-%d %H:%M:%S'
        ))
    
    def emit(self, record):
        try:
            log_line = self.format(record)
            log_buffer.append(log_line)
        except Exception:
            self.handleError(record)

# 配置日志系统
logger = logging.getLogger('WebhookLogger')
logger.setLevel(LOG_LEVEL)

# 创建控制台处理器 - 移除彩色输出
console_handler = logging.StreamHandler()
console_handler.setLevel(LOG_LEVEL)
console_formatter = logging.Formatter(
    r'[%(asctime)s][%(levelname)s] %(message)s',  # 使用原始字符串
    datefmt='%Y-%m-%d %H:%M:%S'
)
console_handler.setFormatter(console_formatter)
logger.addHandler(console_handler)

# 添加缓冲区处理器
buffer_handler = BufferLogHandler()
buffer_handler.setLevel(LOG_LEVEL)
logger.addHandler(buffer_handler)

# 根据配置决定是否添加文件处理器
if SAVE_TO_LOG:
    file_handler = logging.FileHandler('webhook_server.log', encoding='utf-8')
    file_handler.setLevel(LOG_LEVEL)
    file_formatter = logging.Formatter(
        r'[%(asctime)s][%(levelname)-7s] %(message)s',  # 使用原始字符串
        datefmt='%Y-%m-%d %H:%M:%S'
    )
    file_handler.setFormatter(file_formatter)
    logger.addHandler(file_handler)

class WebhookHandler(SimpleHTTPRequestHandler):
    def do_GET(self):
        """处理GET请求 - 返回日志查看页面"""
        if self.path == '/':
            try:
                # 返回日志查看页面
                self.send_response(200)
                self.send_header('Content-type', 'text/html; charset=utf-8')
                self.end_headers()
                
                # 构建简洁的HTML页面 - 使用字符串拼接避免转义问题
                html_content = r"""
                
                
                
                    
                    
                    WebHook 日志查看器
                    
                
                
                    
                        WebHook 日志查看器
                        
                            端口: """ + str(PORT) + r""" | 日志级别: """ + logging.getLevelName(LOG_LEVEL) + r""" | 最后更新: -
                        
                    
                    
                    
                        
                        
                    
                    
                    
                        
                    
                    
                    
                        日志行数: 0
                        自动滚动
                    
                    
                    
                
                
                """
                self.wfile.write(html_content.encode('utf-8'))
            except (BrokenPipeError, ConnectionAbortedError):
                # 忽略客户端断开连接的异常
                logger.debug("客户端在页面加载完成前关闭了连接")
        
        elif self.path == '/logs':
            # 返回JSON格式的日志数据
            self.send_response(200)
            self.send_header('Content-type', 'application/json; charset=utf-8')
            self.end_headers()
            response = json.dumps({
                "timestamp": time.time(),
                "log_count": len(log_buffer),
                "logs": list(log_buffer)
            }, ensure_ascii=False)
            try:
                self.wfile.write(response.encode('utf-8'))
            except (BrokenPipeError, ConnectionAbortedError):
                logger.debug("客户端在日志数据发送完成前关闭了连接")
            
        else:
            self.send_error(404, "Page not found")
    
    def do_POST(self):
        """处理POST请求 - 包括WebHook和模拟请求"""
        # 读取数据
        content_length = int(self.headers.get('Content-Length', 0))
        if content_length:
            post_data = self.rfile.read(content_length)
        else:
            post_data = b''
        
        # 处理清空日志请求
        if self.path == '/clear-logs':
            log_buffer.clear()
            logger.info("🗑️ 日志缓冲区已清空")
            self.send_response(200)
            self.send_header('Content-type', 'text/plain; charset=utf-8')
            self.end_headers()
            try:
                self.wfile.write(b'Logs cleared')
            except (BrokenPipeError, ConnectionAbortedError):
                logger.debug("客户端在清空日志响应发送完成前关闭了连接")
            return
            
        try:
            # 解析 JSON
            data = json.loads(post_data.decode('utf-8')) if post_data else {}
            message = data.get('message', '')
            
            # 详细记录收到的消息
            logger.info(f"📩 收到新消息: {message}")
            logger.debug(f"完整请求数据:\n{json.dumps(data, indent=2, ensure_ascii=False)}")
            logger.debug(f"请求头:\n{self.headers}")

            # 检查是否包含失败关键词
            if any(keyword in message for keyword in FAILURE_KEYWORDS):
                logger.warning(f"⚠️ 检测到失败关键词: {message}")
                logger.debug(f"等待 20 秒")
                time.sleep(20)    # 等待原任务关闭
                self.trigger_task()
                response = "任务已触发"
            else:
                logger.info("✅ 消息未包含失败关键词")
                response = "消息未包含失败关键词"
                
            # 发送响应
            self.send_response(200)
            self.send_header('Content-type', 'text/plain; charset=utf-8')
            self.end_headers()
            try:
                self.wfile.write(response.encode('utf-8'))
            except (BrokenPipeError, ConnectionAbortedError):
                logger.debug("客户端在响应发送完成前关闭了连接")
            
        except json.JSONDecodeError:
            logger.error("❌ 无法解析JSON数据")
            if post_data:
                logger.debug(f"原始数据: {post_data.decode('utf-8', errors='replace')}")
            self.send_error(400, "无效的JSON数据")
        except Exception as e:
            logger.error(f"🔥 处理错误: {str(e)}")
            logger.debug("请求详情:", exc_info=True)
            self.send_error(500, f"处理错误: {str(e)}")
    
    # 禁用默认的日志记录
    def log_message(self, format, *args):
        pass

    def trigger_task(self):
        """触发计划任务"""
        try:
            logger.info(f"🚀 尝试触发任务: {TASK_NAME}")
            
            # 使用 schtasks 命令触发任务
            result = subprocess.run(
                ['schtasks', '/run', '/tn', TASK_NAME],
                capture_output=True,
                text=True,
                timeout=10
            )
            
            if result.returncode == 0:
                logger.info(f"🎉 成功触发任务: {TASK_NAME}")
                logger.debug(f"任务输出:\n{result.stdout.strip()}")
            else:
                logger.error(f"❌ 触发任务失败: {result.stderr.strip()}")
                logger.debug(f"返回码: {result.returncode}")
                logger.debug(f"完整错误输出:\n{result.stderr.strip()}")
                
        except subprocess.TimeoutExpired:
            logger.error("⌛ 任务触发超时")
        except Exception as e:
            logger.error(f"💥 任务触发异常: {str(e)}")
            logger.debug("任务触发异常详情:", exc_info=True)
    
    # 修复编码问题
    def send_error(self, code, message=None, explain=None):
        try:
            self.send_response(code, message)
            self.send_header('Content-type', 'text/html; charset=utf-8')
            self.end_headers()
            
            content = f"""
            
            
            
            Error </span><span class="token string-interpolation interpolation punctuation" style="color:#393A34">{</span><span class="token string-interpolation interpolation">code</span><span class="token string-interpolation interpolation punctuation" style="color:#393A34">}</span><span class="token string-interpolation string" style="color:#e3116c">
            
            Error {code}
            {message}
            
            """
            try:
                self.wfile.write(content.encode('utf-8'))
            except (BrokenPipeError, ConnectionAbortedError):
                logger.debug("客户端在错误响应发送完成前关闭了连接")
        except Exception as e:
            logger.error(f"发送错误响应失败: {str(e)}")

if __name__ == '__main__':
    # 请求管理员权限
    if not require_admin():
        print("🛑 正在请求管理员权限...")
        sys.exit(0)
    
    # 添加启动横幅
    logger.info("=" * 60)
    logger.info(f"🚀 WebHook 接收器已启动 | 管理员权限已获取")
    logger.info(f"🛰️ 服务端口: {PORT}")
    logger.info(f"📝 日志保存: {'✅ 已启用' if SAVE_TO_LOG else '❌ 已禁用'}")
    logger.info(f"🔍 日志级别: {logging.getLevelName(LOG_LEVEL)}")
    logger.info(f"🔍 监控关键词: {', '.join(FAILURE_KEYWORDS)}")
    logger.info(f"📋 任务名称: {TASK_NAME}")
    logger.info(f"🌐 日志查看: http://localhost:{PORT}")
    logger.info("=" * 60)
    
    # 启动主WebHook服务器
    server = HTTPServer(('0.0.0.0', PORT), WebhookHandler)
    try:
        logger.info("🛜 服务器已启动，等待WebHook请求...")
        server.serve_forever()
    except KeyboardInterrupt:
        logger.info("🛑 服务器已手动停止")
    except Exception as e:
        logger.error(f"💥 服务器异常停止: {str(e)}")
        logger.debug("服务器停止详情:", exc_info=True)

部署说明

安装 Python 3.8+
安装依赖：pip install flask ctypes
运行：python ysOneDragonRestart.py

上面这份代码运行后会申请以管理员身份运行，默认端口为 41210，浏览器打开 http://localhost:41210 可以在网页上查看输出

自然数游戏答案合集

Fri, 31 Jan 2025 00:00:00 GMT

自然数游戏（Natual Number Game）地址：https://game.leanprover.cn/

代码高亮使用 PrismJs PR #3765 方案

教程世界

rfl

rw [h] 
rfl

rw[two_eq_succ_one]
rw[one_eq_succ_zero]
rfl

rw[← one_eq_succ_zero]
rw[← two_eq_succ_one]
rfl

-- rw[add_zero b]
-- rw[add_zero c]
repeat rw [add_zero]
rfl

rw [add_zero b]
rw [add_zero c]
rfl

rw [one_eq_succ_zero]
rw [add_succ n 0]
rw [add_zero]
rfl

nth_rewrite 2 [two_eq_succ_one]
rw [add_succ 2 1]
rw [← succ_eq_add_one]
rw [← three_eq_succ_two]
rw [four_eq_succ_three]
rfl

加法世界

zero_add
succ_add
add_comm（关卡Boss）
add_assoc（加法结合律）
add_right_comm

induction n with d hd

-- 0 + 0 = 0
rw [add_zero]
rfl

-- 0 + succ d = succ d
rw [add_succ]
rw [hd]
rfl

induction b with d hd
-- succ a + 0 = succ (a + 0)
repeat rw [add_zero]
rfl
-- hd: succ a + d = succ (a + d); succ a + succ d = succ (a + succ d)
rw [add_succ]
rw [add_succ a d]
rw [hd]
rfl

induction a with d hd
-- 0 + b = b + 0
rw [add_zero]
rw [zero_add]
rfl
-- hd: d+b=b+d; succ d + b = b + succ d
rw [add_succ b d]
rw [succ_add d b]
rw [hd]
rfl

induction b with d hd
rw [zero_add]
rw [add_zero]
rfl
rw [add_succ]
repeat rw [succ_add]
rw [add_succ]
rw [hd]
rfl

repeat rw [add_assoc]
rw [add_comm b c]
rfl

乘法世界

rw [one_eq_succ_zero]
rw [mul_succ]
rw [mul_zero]
rw [zero_add]
rfl

induction m with d hd
apply mul_zero
rw [mul_succ, hd, zero_add]
rfl

induction b with c hc
repeat rw [mul_zero]
rw [zero_add]
rfl
repeat rw [mul_succ]
rw [hc]
repeat rw [add_succ]
rw [add_right_comm]
rfl

induction a with c hc
rw [zero_mul, mul_zero]
rfl
rw [succ_mul, mul_succ, hc]
rfl

rw [one_eq_succ_zero, succ_mul, zero_mul, zero_add]
rfl

rw [two_eq_succ_one, one_eq_succ_zero]
repeat rw [succ_mul]
rw [zero_mul, zero_add]
rfl

induction b with d hd
rw [zero_add, mul_zero, zero_add]
rfl
rw [succ_add]
repeat rw [mul_succ]
rw [add_right_comm, hd]
rfl

rw [mul_comm, mul_add, mul_comm, mul_comm c b]
rfl

induction a with d hd
repeat rw [zero_mul]
rfl
repeat rw [succ_mul]
rw [add_mul, hd]
rfl

蕴含世界

exact h1

repeat rw [zero_add] at h
exact h

apply h2 at h1
exact h1

rw [four_eq_succ_three] at h
rw [← succ_eq_add_one] at h
apply succ_inj at h
exact h

apply succ_inj
rw [succ_eq_add_one]
rw [← four_eq_succ_three]
exact h

intro h
exact h

intro h
repeat rw [← succ_eq_add_one] at h
apply succ_inj at h
exact h

apply h2
exact h1

intro h
rw [one_eq_succ_zero] at h
apply zero_ne_succ at h
exact h

symm
apply zero_ne_one

repeat rw [succ_eq_add_one]
repeat rw [zero_add]
rw [← add_assoc]
repeat rw [← succ_eq_add_one]
repeat rw [one_eq_succ_zero]
intro h
repeat apply succ_inj at h
apply zero_ne_succ at h
exact h

幂世界

rw [pow_zero]
rfl

rw [pow_succ, mul_zero]
rfl

rw [one_eq_succ_zero, pow_succ, pow_zero, one_mul]
rfl

induction m with a ha
rw [pow_zero]
rfl
rw [pow_succ, mul_one, ha]
rfl

rw [two_eq_succ_one, pow_succ, pow_one]
rfl

induction n with b hb
rw [add_zero, pow_zero, mul_one]
rfl
rw [add_succ, pow_succ, hb, pow_succ,← mul_assoc]
rfl

induction n with c hc
repeat rw [pow_zero]
rw [one_mul]
rfl
repeat rw [pow_succ]
repeat rw [← mul_assoc]
nth_rewrite 5 [mul_comm]
rw [← mul_assoc]
nth_rewrite 6 [mul_comm]
rw [hc]
rfl

induction n with b hb
rw [mul_zero]
repeat rw [pow_zero]
rfl
rw [mul_succ, pow_add, pow_succ, hb]
rfl

nth_rewrite 1 [two_eq_succ_one, pow_succ, pow_one, add_mul]
repeat rw [mul_add, ← pow_two]
nth_rewrite 2 [mul_comm]
rw [← add_assoc]
nth_rewrite 5 [two_eq_succ_one]
rw [succ_eq_add_one]
repeat rw [add_mul]
repeat rw [one_mul]
rw [add_right_comm]
nth_rewrite 2 [add_right_comm]
rw [add_assoc]
rfl

-- 这里空间太小，我写不下 /doge

高级加法世界

induction n with d hd
repeat rw [add_zero]
intro h
exact h
repeat rw [add_succ]
intro h
apply hd
apply succ_inj
exact h

rw [add_comm n a]
rw [add_comm n b]
intro h
apply add_right_cancel a b n
exact h

nth_rewrite 2 [← zero_add y] 
exact add_right_cancel x 0 y

rw [add_comm]
exact add_left_eq_self y x

cases b with d
rw [add_zero]
intro h
exact h
rw [add_succ]
intro h
symm at h
apply zero_ne_succ at h
cases h

rw [add_comm]
exact add_right_eq_zero b a

算法世界

repeat rw [← add_assoc]
rw [add_comm b a]
rfl

repeat rw [add_assoc]
rw [add_left_comm b c, add_comm d b]
rfl

simp only [add_assoc, add_left_comm, add_comm]

simp_add

rw [← pred_succ a, h, pred]
rfl

-- symm
-- apply zero_ne_succ
intro h
rw [← is_zero_succ a, h, is_zero_zero]
trivial

contrapose! h
apply succ_inj at h
exact h

decide

decide

≤ 世界

use 0
rw [add_zero]
rfl

use x
rw [zero_add]
rfl

use 1
rw [succ_eq_add_one]
rfl

cases hxy with a ha
cases hyz with b hb
rw [ha] at hb
rw [hb]
use a+b
rw [add_assoc]
rfl

cases hx with a ha
symm at ha
apply add_right_eq_zero at ha
exact ha

cases hxy with a ha
cases hyx with b hb
rw [hb, add_assoc] at ha
nth_rewrite 1 [← add_zero y] at ha
apply add_left_cancel at ha
symm at ha
apply add_right_eq_zero at ha
rw [ha, add_zero] at hb
exact hb

cases h with hx hy
right
exact hx
left
exact hy

induction y with d hd
right
use x
rw [zero_add]
rfl
cases hd with h1 h2
left
cases h1 with e h1
use e+1
rw [h1, succ_eq_add_one, add_assoc]
rfl
cases h2 with e h2
cases e with a
left
use 1
rw [h2, succ_eq_add_one, add_zero]
rfl
right
use a
rw [h2, add_succ, succ_add]
rfl

cases hx with a ha
rw [succ_add] at ha
apply succ_inj at ha
use a
rw [ha]
rfl

cases hx with a ha
cases x with b hb
left
rfl
rw [one_eq_succ_zero, succ_add] at ha
apply succ_inj at ha
symm at ha
apply add_right_eq_zero at ha
right
rw [one_eq_succ_zero, ha]
rfl

cases hx with a ha
cases x with b hb
left
rfl
cases b with c hc
right
left
rw [← one_eq_succ_zero]
rfl
repeat rw [succ_add] at ha
rw [two_eq_succ_one, one_eq_succ_zero] at ha
apply succ_inj at ha
apply succ_inj at ha
symm at ha
apply add_right_eq_zero at ha
right
right
rw [ha, ← one_eq_succ_zero, ← two_eq_succ_one]
rfl

高级乘法世界

cases h with c hc
use c*t
rw [hc, add_mul]
rfl

contrapose! h
rw [h, mul_zero]
rfl

cases a with b hb
tauto
tauto

apply eq_succ_of_ne_zero at ha
cases ha with n hn
use n
rw [hn, succ_eq_add_one, add_comm]
rfl

apply mul_left_ne_zero at h
apply eq_succ_of_ne_zero at h
cases h with c hc
use a*c
rw [hc, mul_succ, add_comm]
rfl

have h1 : x * y ≠ 0
rw [h]
exact one_ne_zero
apply le_mul_right at h1
rw [h] at h1
apply le_one at h1
cases h1 with hl hr
rw [hl, zero_mul] at h
tauto
exact hr

apply eq_succ_of_ne_zero at ha
apply eq_succ_of_ne_zero at hb
cases ha with c hc
cases hb with d hd
rw [hc, hd, mul_succ, add_succ]
symm
apply zero_ne_succ

contrapose! h
have h1 := mul_ne_zero a b
tauto

induction b with d hd generalizing c
rw [mul_zero] at h
symm at h
apply mul_eq_zero at h
tauto
rw [mul_succ] at h
cases c with e
rw [mul_zero] at h
apply add_left_eq_zero at h
tauto
rw [mul_succ] at h
apply add_right_cancel at h
apply hd at h
rw [h]
rfl

nth_rewrite 2 [← mul_one a] at h
apply mul_left_cancel at h
exact h
exact ha

关于 Asin(ωx+φ)+B 周期的误区

Sat, 21 Dec 2024 00:00:00 GMT

原题

（多选）将函数 $f(x)=\cos(\omega x+\varphi)$ 的图象向左平移 $\dfrac\pi2$ 个单位，若所得图象与原图像重合，则 $\omega$ 的值可能为（）。

A. $2$ B. $4$ C. $6$ D. $8$

正解

$\dfrac\pi2=kT\,(k\in Z),$

$\omega=\pm\dfrac{2\pi}{T}=\pm\dfrac{2\pi}{\tfrac{\pi}{2k}}=\pm4k\,(k\in\Z).$

故选 BD。

错解

$\cos$ 参数增加值 $\dfrac{\omega\pi}{2}=kT=\dfrac{2k\pi}{\omega}\,(k\in\Z),$

$\therefore \omega=\sqrt{4k}=2\sqrt{k}\,(k\in\Z).$

故选 ABCD。

分析

错解将“ $A\cos(\omega x+\varphi)+B$ 对于 $x$ 的周期”与“ $\cos$ 函数参数值的周期”混为一谈，事实上前者的值 $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$ 与后者的值 $2\pi$ 不一定相等。

常见的与指对函数有关的奇偶函数

Tue, 26 Nov 2024 00:00:00 GMT

设 $a>0$ ，且 $a \neq 1$ 。

奇函数

\begin{aligned} &f(x)=a^x-a^{-x}. \\ & f(x)=\frac{a^x+1}{a^x-1}=1+\frac{2}{a^x-1},\, f(x)=\frac{a^x-1}{a^x+1}=1-\frac{2}{a^x+1};\\ & f(x)=\frac{1}{a^x-1}+\frac12,\, f(x)=\frac{1}{a^x+1}-\frac12. \\ & f(x)=\log_a(\sqrt{k^2x^2+1}+kx)\, (k \neq 0). \\ & f(x)=\log_a\frac{kx+b}{kx-b}\, (kb \neq 0). \end{aligned}

偶函数

\begin{aligned} &f(x)=a^x+a^{-x}. \\ & f(x)=\log_a(a^x+1)-\frac x2,\, f(x)=\ln(e^x+1)-\frac x2,\, f(x)=\lg(10^x+1)-\frac x2. \\ & f(x)=\log_a(k^2x^2-b^2)\, (kb \neq 0). \end{aligned}

偏导数在求极值中的应用

Mon, 07 Oct 2024 00:00:00 GMT

前置知识

“偏导数”一课通！1h零基础上手！|高数下

信息

求导法则：

\begin{align*} & F(x) = f(x) \pm g(x), & F'(x) = f'(x) \pm g'(x) \\ & F(x) = f(x) \cdot g(x), & F'(x) = f(x) \cdot g'(x) + f'(x) \cdot g(x) \\ & F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, & F'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} \\ & F(x) = f[g(x)], & F'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x) \end{align*}

例题

不等式核心思想方法，分离与配凑？

题面

$a, b > 0$ ，求 $\dfrac{ab+b}{a^2+b^2+1}$ 的最大值。

偏微分解法

记 $f(a, b) = \dfrac{ab+b}{a^2+b^2+1}$

$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial a} &= \dfrac{b}{(a^2+b^2+1)^2} \cdot [(a^2+b^2+1)-2a(a+1)] \\ &=\dfrac{b}{(a^2+b^2+1)^2} \cdot (b^2-a^2-2a+1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial b} &= \frac{a+1}{(a^2+b^2+1)^2}\cdot[(a^2+b^2+1)-2b\cdot b] \\ &=\frac{a+1}{(a^2+b^2+1)^2}\cdot(a^2-b^2+1). \\ \end{aligned}$

取极值时 $\dfrac{\partial f}{\partial a} = \dfrac{\partial f}{\partial b} = 0$ ，即： $\begin{cases} b^2-a^2-2a+1=0 & \textcircled{\scriptsize 1} \\ a^2-b^2+1=0 & \textcircled{\scriptsize 2} \end{cases}$

$\textcircled{\scriptsize 1}+\textcircled{\scriptsize 2}: 2-2a=0$ ，即 $a=1$

易得 $b=\sqrt{2}$

$\therefore f(a, b)_{\max} = f(1, \sqrt{2}) = \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

不等式笔记

Fri, 04 Oct 2024 00:00:00 GMT

含对数平均数的不等式链，均值不等式，柯西不等式，权方和不等式

不等式链

拓展课3 不等式链在双变量问题中的综合应用｜对数均值不等式｜高考数学-哔哩哔哩

对于 $a,b > 0$ ，且 $a \ne b$ ，定义 $\dfrac{b-a}{\ln b-\ln a}$ 为 $a, b$ 的对数平均数。

信息

a < \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} < \sqrt{ab} < \frac{b-a}{\ln b-\ln a} < \frac{a+b}{2} < \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} < b

其中 $b > a > 0$ 。

均值不等式

基本形式

信息

\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

其中 $a, b>0$ ，

当且仅当 $a=b$ 时取等。

推广形式

信息

\begin{matrix} \begin{align*} \frac{n}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \end{align*} & \le & \begin{align*} \sqrt[n]{\displaystyle\prod\limits_{i=1}^n x_i} \end{align*} & \le & \begin{align*} \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n} \end{align*} & \le & \begin{align*} \sqrt{\frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}{n}} \end{align*} \\ \\ H_n & \le & G_n & \le & A_n & \le & Q_n \\ \\ \text{调和平均数} && \text{几何平均数} && \text{算数平均数} && \text{平方平均数} \end{matrix}

其中 $n \in \N^*$ ， $x_i > 0$ ，

当且仅当 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ 时取等。

柯西不等式

二维形式

信息

(ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)

其中 $a, b, c, d \in \R$ ，

当且仅当 $a = \lambda b, c = \lambda d$ ，即 $ad=bc$ 时取等。

推广形式

信息

\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n a_{i}b_{i} \right)^2 \le \left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n a_i^2\right)\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n b_i^2\right)

其中 $n \le 2$ ， $n \in \N$ 且 $a_i, b_i \in \R$ ，

当且仅当 $x_i = \lambda y_i$ 时取等。

推广形式向量证明

设 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n), \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$

\begin{aligned} \because& \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\, \\ &\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2} \cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \\ \therefore& a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n = \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2} \cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \\ \because& \cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \le 1 \\ \therefore& a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \le \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2} \\ \therefore& (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \\ \end{aligned}

当且仅当 $\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = 1$ ，即 $\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}$ 时取等。

权方和不等式

特殊形式（ $m=1$ ）

信息

\frac{\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} y_i} \le \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i^2}{y_i}

其中 $n \in \N^*$ ， $x_i, y_i > 0$ ，

当且仅当 $a_i = \lambda b$ 时取等，

二维柯西不等式中令 $a_i = \dfrac{x_i}{\sqrt{y_i}}$ ， $b_i = \sqrt{y_i}$ 易证得。

一般形式

信息

当 $m(m+1) > 0$ 时：

\frac{\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)^{m+1}}{\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} y_i \right)^m} \le \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m+1}}{y_i^m}

当 $m(m+1) = 0$ 时：

\frac{\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)^{m+1}}{\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} y_i \right)^m} = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m+1}}{y_i^m}

当 $m(m+1) < 0$ 时：

\frac{\left( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)^{m+1}}{\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} y_i \right)^m} \ge \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m+1}}{y_i^m}

其中 $n \in \N^*$ ， $x_i, y_i > 0$ ，

当且仅当 $x_i = \lambda y_i$ ，即 $\dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{x_2}{y_2} = \cdots = \dfrac{x_n}{y_n}$ 时取等。

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